Articles by "Toán học"

Hiển thị các bài đăng có nhãn Toán học. Hiển thị tất cả bài đăng

Tác giả: STEPHEN HAWKING
Người dịch:PHẠM VIỆT HƯNG
1.Trong buổi nói chuyện này, tôi muốn đặt câu hỏi liệu chúng ta có thể đi bao xatrong việc tìm kiếm sự hiểu biết và tri thức. Liệu có bao giờ chúng ta tìm thấy một hình thức đầy đủ của các định luật tự nhiên hay không? … Khi nói một hình thức đầy đủ, ý tôi muốn nói là một tập hợp các quy luật mà ít nhất về nguyên tắc sẽ cho phép chúng ta dự đoán được tương lai với độ chính xác tùy ý, khi biết trạng thái của vũ trụ tại một thời điểm. Một sự hiểu biết định tính của các định luật vốn đã là mục tiêu của các triết gia và nhà khoa học, kể từ Aristotle trở đi. Nhưng chính cuốn Principia Mathematica của Newton năm 1687, bao gồm lý thuyết vạn vật hấp dẫn, đã tạo nên những định luật định lượng và chính xác. Điều này dẫn đến tư tưởng của quyết định luận khoa học, mà dường như lần đầu tiên đã được thể hiện bởi Laplace. Nếu biết vị trí và vận tốc của tất cả các hạt trong vũ trụ tại một thời điểm, các định luật khoa học sẽ cho phép chúng ta tính toán đuợc vị trí và vận tốc của chúng tại bất kỳ thời điểm nào khác, trong quá khứ hoặc tương lai. Các định luật có thể do Chúa hoặc không do Chúa ban hành, nhưng quyết định luận khoa học khẳng định rằng Chúa không can thiệp để phá vỡ các định luật đó.
2. Lúc đầu, dường như những hy vọng cho một quyết định luận hoàn chỉnh sẽ bị tiêu tan bởi những khám phá đầu thế kỷ 20, chẳng hạn như hiện tượng phân hủy của các nguyên tử phóng xạ tự nhiên dường như xẩy ra một cách ngẫu nhiên. Nói theo cách của Einstein, có vẻ như Chúa đã chơi xúc xắc. Nhưng khoa học đã giành lại chiến thắng từ gọng kìm của sự thất bại bằng cách thay đổi các cột mốc mục tiêu và xác định lại xem sự hiểu biết đầy đủ về vũ trụ có nghĩa là gì. Đó là một ánh chớp bất ngờ của trí tuệ mà những ngụ ý triết học của nó vẫn chưa được đánh giá đầy đủ. Phần lớn công lao thuộc về Paul Dirac, người tiền nhiệm của tôi (…)[4]. Dirac đã cho thấy công trình của Erwin Schrodinger và Werner Heisenberg có thể được kết hợp với nhau như thế nào trong hình ảnh mới của hiện thực, được gọi là lý thuyết lượng tử. Trong lý thuyết lượng tử, một hạt không được đặc trưng bởi hai đại lượng, vị trí và vận tốc của nó, như trong lý thuyết cổ điển Newton. Thay vào đó, nó được mô tả bởi một đại lượng duy nhất: hàm sóng. Kích thước của hàm sóng tại một điểm sẽ xác định xác suất xuất hiện của hạt tại điểm đó, và mức độ biến thiên của hàm sóng từ điểm này tới điểm khác xác định xác suất của các vận tốc khác nhau. Ta có thể có một hàm sóng nhô đỉnh lên tại một điểm. Điều này tương ứng với trạng thái có một bất định nhỏ về vị trí của hạt. Tuy nhiên, hàm sóng thay đổi rất nhanh, do đó có một bất định lớn về tốc độ. Tương tự, một chuỗi sóng dài có một bất định lớn về vị trí, nhưng bất định nhỏ về vận tốc. Ta có thể có một vị trí hoặc một vận tốc được xác định rõ, nhưng không phải cả hai.
3. Điều này dường như làm cho quyết định luận trở nên bất khả thi. Nếu không thể xác định chính xác cả vị trí lẫn vận tốc của hạt tại một thời điểm thì làm sao có thể dự đoán trong tương lai chúng sẽ ra sao? Điều đó giống như dự báo thời tiết. Các nhà dự báo thời tiết không có một kiến thức chính xác của khí quyển cùng một lúc. Chỉ có một vài đo đạc trên mặt đất và những gì có thể biết từ các bức ảnh vệ tinh. Đó là lý do tại sao dự báo thời tiết rất không đáng tin cậy. Nhưng hoá ra là trong lý thuyết lượng tử không cần phải biết cả vị trí lẫn vận tốc. Nếu biết các định luật vật lý và hàm sóng tại cùng một thời điểm, thì cái được gọi là phương trình Schrodinger sẽ cho biết hàm sóng thay đổi nhanh chừng nào theo thời gian. Điều này cho phép tính toán hàm sóng tại bất kỳ thời điểm nào khác. Do đó có thể cho rằng quyết định luận vẫn có thể thực hiện được, nhưng ở một cấp độ thấp hơn. Thay vì có thể dự đoán chính xác hai đại lượng, vị trí và vận tốc, người ta có thể dự đoán chỉ một đại lượng duy nhất, đó là hàm sóng. Như vậy là chúng ta đã xác định lại quyết định luận để đạt được dù chỉ một nửa những gì Laplace nghĩ rằng sẽ đạt được. Một số người đã cố gắng giải thích lý do không thể dự đoán được nửa còn lại là vì nhận thức bị hạn chế, hoặc do sự can thiệp của những bản thể siêu nhiên. Nhưng khó có thể giải thích một hiện tượng hoàn toàn ngẫu nhiên theo hai kiểu đó.
4.Để tính toán hàm sóng biến thiên theo thời gian ra sao, cần biết những quy luật lượng tử chi phối vũ trụ. Vậy làm thế nào để chúng ta biết rõ những quy luật này? Như Dirac nhận xét, phương trình Maxwell về ánh sáng và phương trình sóng tương đối tính, mà ông quá khiêm tốn gọi là phương trình Dirac, chi phối hầu hết vật lý và toàn bộ hóa học và sinh học. Vì vậy về nguyên tắc, chúng ta phải có khả năng dự đoán được hành vi của con người, mặc dù tôi không thể nói rằng bản thân tôi đã đạt được nhiều thành công. Nhưng bộ não của con người chứa quá nhiều thành phần nhỏ bé để chúng ta có thể dự đoán được nó bằng cách giải các phương trình. Tuy nhiên chúng ta có thể cảm thấy được an ủi khi nghĩ rằng chúng ta có thể dự đoán được loài giun tròn, mặc dù không thể dự đoán được con người. Lý thuyết lượng tử và các phương trình Maxwell và Dirac thực sự chi phối phần lớn cuộc sống của chúng ta, nhưng có hai lĩnh vực quan trọng vượt quá phạm vi của chúng. Một là các lực hạt nhân. Hai là lực hấp dẫn. Lực hạt nhân chịu trách nhiệm đối với việc Mặt Trời phát sáng và sự hình thành của các nguyên tố cacbon và oxy mà bản thân chúng ta cũng được tạo ra từ đó. Lực hấp dẫn gây ra sự hình thành của các ngôi sao và hành tinh, và thực ra của cả bản thân vũ trụ. Do đó điều quan trọng là phải đưa những lực này vào chương trình nghiên cứu.
5.Cái gọi là lực hạt nhân yếu đã được thống nhất với các phương trình Maxwell bởi Abdus Salam và Steven Weinberg, trong cái được gọi là Lý thuyết điện từ yếu. Các dự đoán của lý thuyết này đã được xác  nhận bởi thí nghiệm và các tác giả của nó đã được trao Giải Nobel. Lực hạt nhân còn lại gọi là lực mạnh, chưa thành công trong việc thống nhất với lực điện từ yếu trong một chương trình thử nghiệm quan sát. Thay vào đó, chúng dường như được mô tả bởi một lý thuyết tương tự nhưng riêng biệt được gọi là QCD. Không rõ người nào, bất kể là ai, sẽ đoạt một Giải Nobel cho QCD, nhưng David Gross và Gerard’t Hooft chia sẻ công trạng vì chỉ ra rằng lý thuyết này sẽ trở nên đơn giản hơn tại những năng lượng cao (…). Lý thuyết điện yếu và QCD gộp lại với nhau thành cái gọi là Mô hình Tiêu chuẩn của vật lí hạt, nhằm mục đích mô tả mọi thứ ngoại trừ lực hấp dẫn.
6.Mô hình tiêu chuẩn có vẻ thích hợp cho tất cả các mục đích thực tế, ít nhất là cho hàng trăm năm tới. Nhưng lý do thực tế hoặc kinh tế chưa bao giờ là động lực dẫn dắt trong việc tìm kiếm một lý thuyết hoàn chỉnh về vũ trụ. Không ai nghiên cứu các lý thuyết cơ bản, từ Galileo trở đi, lại mang những công trình nghiên cứu của mình ra để kiếm tiền, mặc dù Dirac đã có thể làm giầu nếu ông đăng ký cấp bằng sáng chế phát minh cho phương trình Dirac. Ông sẽ có tiền bản quyền trên mọi máy truyền hình, walkman, video game và computer.
7.Lý do thực sự để chúng ta tìm kiếm một lý thuyết hoàn chỉnh là vì  chúng ta muốn hiểu vũ trụ và cảm thấy chúng ta không chỉ là nạn nhân của những lực khó hiểu và huyền bí. Nếu chúng ta hiểu vũ trụ, thì theo một nghĩa nào đó chúng ta sẽ kiểm soát được nó. Mô hình Tiêu chuẩn rõ ràng không thoả mãn với mục tiêu này. Trước hết vì nó xấu xí và không mang tính tổng quát. Các hạt được nhóm lại một cách rõ ràng là tùy ý, và mô hình tiêu chuẩn phụ thuộc vào 24 con số mà giá trị của chúng không thể rút ra từ những nguyên lý đầu tiên, nhưng chúng phải được chọn để phù hợp với các quan sát. Có hiểu biết gì trong đó? Mô hình tiêu chuẩn có thể là lời nói cuối cùng của Tự Nhiên chăng? Thất bại thứ hai của Mô hình Tiêu chuẩn là nó không bao gồm lực hấp dẫn. Đúng ra lực hấp dẫn đã được mô tả bởi Thuyết tương đối Tổng quát của Einstein. Thuyết tương đối không phải là một lý thuyết lượng tử – một lý thuyết không giống như các định luật chi phối tất cả mọi thứ khác trong vũ trụ. Mặc dù sẽ không thích hợp khi áp dụng tính tương đối tổng quát phi lượng tử vào mô hình tiêu chuẩn lượng tử, nhưng điều này không có ý nghĩa thực tế trong giai đoạn hiện tại của vũ trụ, bởi vì  trường hấp dẫn quá yếu. Tuy nhiên, vào lúc rất sớm sủa của vũ trụ, trường hấp dẫn mạnh hơn rất nhiều và hấp dẫn lượng tử sẽ là đáng kể. Thật vậy, chúng ta có bằng chứng cho thấy tính bất định lượng tử trong thời kỳ đầu của vũ trụ tạo ra một số khu vực đặc hơn hoặc loãng hơn một chút so với nền vũ trụ đồng nhất ở những chỗ khác. Chúng ta có thể nhận thấy điều này trong những khác biệt nho nhỏ trong nền bức xạ vi sóng từ các hướng khác nhau. Khu vực nóng hơn, dày đặc hơn sẽ ngưng tụ thành các khu vực dàn trải như các thiên hà, các ngôi sao và hành tinh. Tất cả các cấu trúc trong vũ trụ, bao gồm cả bản thân chúng ta, có thể truy ngược về những hiệu ứng lượng tử trong giai đoạn sớm sủa của vũ trụ. Do đó, cần phải có một lý thuyết lượng tử hoàn toàn phù hợp của lực hấp dẫn, nếu chúng ta muốn hiểu vũ trụ.
8.Xây dựng một lý thuyết lượng tử của lực hấp dẫn là vấn đề nổi bật của vật lý lý thuyết trong 30 năm qua. Việc này khó khăn gấp bội so với những lý thuyết lượng tử về các lực hạt nhân mạnh và lực điện từ yếu. Những lực này lan truyền trong một cái nền cố định của không gian và thời gian. Người ta có thể xác định hàm sóng và sử dụng phương trình Schrodinger để làm cho nó tiến triển theo thời gian. Nhưng theo Thuyết tương đối tổng quát, lực hấp dẫn là không gian và thời gian. Vậy hàm sóng đối với lực hấp dẫn làm thế nào tiến triển theo thời gian? Và dù thế nào chăng nữa, ý nghĩa hàm sóng đối với lực hấp dẫn là gì? Hoá ra là, theo một ý nghĩa hình thức, nguời ta có thể định nghĩa một hàm sóng và một phương trình như phương trình Schrodinger đối với lực hấp dẫn, nhưng chúng ít có ích lợi trong tính toán thực tế.
9.Thay vào đó, cách tiếp cận thông thường là xem không-thời-gian lượng tử như mộtnhiễu loạn nhỏ của không-thời-gian nền nào đó; nói chung là không gian phẳng. Sau đó các nhiễu loạn có thể được coi như trường lượng tử, chẳng hạn như trường điện từ yếu và QCD, lan truyền thông qua không thời gian nền. Trong các tính toán về xáo trộn, thường có một đại lượng được gọi là “tương tác hữu hiệu” (effective coupling)[5], đo lường mức độ một nhiễu loạn cho trước sẽ gây ra chừng bao nhiêu nhiễu loạn phụ trội.
Nếu đại lượng tương tác là nhỏ, một nhiễu loạn nhỏ sẽ tạo ra một nhiễu loạn nhỏ hơn rồi lại nhiễu loạn nhỏ hơn nữa, và cứ thế tiếp tục. Lý thuyết nhiễu loạn tỏ ra có hiệu lực và có thể được dùng để tính toán cho bất kỳ mức độ chính xác nào. Một ví dụ là tài khoản ngân hàng của bạn. Tiền lãi trên tài khoản là một nhiễu loạn nhỏ. Một nhiễu loạn rất nhỏ nếu tài khoản của bạn thuộc một trong số những ngân hàng lớn. Lãi suất là lãi gộp. Nghĩa là, có lãi trên lãi, và lãi trên lãi trên lãi. Tuy nhiên, số lượng rất nhỏ. Đối với một đánh giá xấp xỉ tốt, tiền trong tài khoản của bạn là số tiền bạn đã gửi vào đó. Mặt khác, nếu đại lượng tương tác là cao, một nhiễu loạn sẽ tạo ra một nhiễu loạn lớn hơn rồi lại một nhiễu loạn lớn hơn nữa. Ví dụ như vay tiền từ những kẻ cho vay nặng lãi. Tiền lãi có thể nhiều hơn số tiền bạn vay, và sau đó bạn phải trả khoản lãi đó. Đó là một thảm họa.
10.Với hấp dẫn, đại lượng tương tác hữu hiệu là năng lượng hoặc khối lượng của nhiễu loạn bởi vì đại lượng này xác định mức độ nó làm cong không-thời-gian, và do đó tạo ra một nhiễu loạn thêm nữa. Tuy nhiên, trong lý thuyết lượng tử, các đại lượng như trường điện từ hoặc hình học của không thời gian không có giá trị xác định, mà có cái gọi là thăng giáng lượng tử. Những thăng giáng này có năng lượng. Thực tế, chúng có một năng lượng vô hạn bởi vì có thăng giáng trên mọi quy mô khoảng cách (length scales), bất kể chúng nhỏ chừng nào. Vì vậy việc xem hấp dẫn lượng tử như là một nhiễu loạn của không gian phẳng không có hiệu lực lắm, bởi vì các nhiễu loạn bị gắn kết chặt.
11.Siêu hấp dẫn được phát minh vào năm 1976 để giải quyết, hoặc ít nhất là để cải thiện, vấn đề năng lượng. Nó là sự kết hợp của thuyết tương đối tổng quát với các trường lực khác, sao cho mỗi loại hạt có một loại hạt siêu đối tác (superpartner)[6]. Năng lượng thăng giáng lượng tử của đối tác này là dương thì đối tác kia là âm, do đó chúng có xu hướng hủy. Hy vọng là những năng lượng dương và âm vô hạn sẽ huỷ hoàn toàn, chỉ để lại phần dư hữu hạn. Trong trường hợp này, một xử lý nhiễu loạn sẽ có hiệu lực vì đại lượng tương tác hữu hiệu là yếu. Tuy nhiên, vào năm 1985, người ta đột nhiên bị mất niềm tin cho rằng các năng lượng vô hạn sẽ bị hủy. Không phải vì có ai đã chứng minh rằng chúng nhất định không hủy. Người ta cho rằng một sinh viên tốt nghiệp loại giỏi sẽ phải mất 300 năm để tính toán, và làm thế nào để biết không có một sai lầm tại một chỗ nào đó? Đúng là ra vì Ed Witten tuyên bố rằng lý thuyết dây là lý thuyết hấp dẫn lượng tử chân chính, và siêu hấp dẫn chỉ là một lý thuyết xấp xỉ, có giá trị khi năng lượng của hạt là thấp, mà trong thực tế, chúng luôn luôn là như vậy. Trong lý thuyết dây, lực hấp dẫn không được xem như sự cong của không-thời-gian. Thay vào đó, nó được trình bầy bởi các sơ đồ dây (string diagrams); các mạng lưới của các ống hiện diện như những cuộn dây nhỏ, lan truyền qua không-thời-gian phẳng. Đại lượng tương tác hữu hiệu xác định cường độ của các mối nối mà tại đó ba đường ống gặp nhau không phải là năng lượng, như trong siêu hấp dẫn. Thay vào đó, nó được xác định bởi cái được gọi là “dilaton”[7], một loại hạt chưa được quan sát. Nếu dilaton có một giá trị thấp, đại lượng tương tác hữu hiệu sẽ yếu, và khi đó lý thuyết dây sẽ là một lý thuyết lượng tử tốt. Nhưng lý thuyết này không có công dụng trên Trái Đất cho những mục đích thực tiễn.
12.Trong những năm từ 1985, chúng ta đã nhận ra rằng cả siêu hấp dẫn lẫn lý thuyết dây đều thuộc một cấu trúc lớn hơn, được biết như lý thuyết M. Tên gọi Lý thuyết M là điều hoàn toàn mập mờ[8]. Lý thuyết M không phải là một lý thuyết theo nghĩa thông thường. Đúng ra đó là một tập hợp nhiều lý thuyết rất khác nhau cùng mô tả một tình huống vật lý. Những lý thuyết này có liên hệ với nhau bởi những ánh xạ hoặc phép tương ứng được gọi là những đối ngẫu, ngụ ý rằng chúng đều là những phản ánh của cùng một lý thuyết cơ bản. Mỗi lý thuyết trong tập hợp này làm việc tốt trong một giới hạn, như năng lượng thấp, hoặc dilaton thấp, trong đó đại lượng tương tác hữu hiệu của nó là nhỏ, nhưng lý thuyết không còn thích hợp khi đại lượng tương tác là lớn. Điều này có nghĩa là không có lý thuyết nào trong số đó có thể dự đoán tương lai của vũ trụ với độ chính xác tùy ý. Để đạt được điều đó, người ta sẽ cần một công thức duy nhất của lý thuyết M có hiệu lực trong mọi tình huống.
13.Đến nay, hầu hết mọi người đã ngầm giả định rằng có một lý thuyết cuối cùng mà rốt cuộc chúng ta sẽ khám phá ra. Thật vậy, bản thân tôi đã cho rằng chúng ta có thể sớm tìm thấy nó. Tuy nhiên, Lý thuyết M đã làm cho tôi băn khoăn liệu điều này có đúng không. Có lẽ không thể xây dựng một lý thuyết về vũ trụ trong một số hữu hạn các phát biểu. Điều này gợi nhớ đến định lý của Gödel. Định lý này nói rằng bất kỳ một hệ tiên đề hữu hạn nào cũng không đủ để chứng minh mọi kết quả trong toán học.
14.Định lý Gödel được chứng minh bằng cách sử dụng mệnh đề tự nói về bản thân mình (mệnh đề tự quy chiếu). Những mệnh đề này có thể dẫn đến nghịch lý. Một ví dụ là mệnh đề A nói rằng “mệnh đề A sai”. Nếu A đúng, suy ra A sai. Nếu A sai, tức là nó nói đúng sự thật, suy ra nó đúng. Một ví dụ khác là, thợ cắt tóc ở Corfu cắt tóc cho tất cả những người không tự cắt tóc cho mình. Vậy ai sẽ cắt tóc cho thợ cắt tóc đó? Nếu ông ta tự cắt tóc cho mình, thì ông ta sai. Nếu ông ta không tự cắt tóc cho mình, thì ông ta phải cắt, vì đó là nhiệm vụ của ông ta. Gödel đã khéo léo tránh những nghịch lý như vậy bằng cách cẩn thận phân biệt giữa toán học, giống như 2 + 2 = 4, và siêu toán học – tức những mệnh đề nói về toán học, chẳng hạn như những mệnh đề: “toán học rất thú vị”, “toán học là nhất quán (phi mâu thuẫn)”, v.v. Đó là lý do tại sao công trình của ông rất khó đọc. Nhưng ý tưởng thì khá đơn giản. Đầu tiên Gödel cho thấy rằng mỗi công thức toán học, giống như 2 + 2 = 4, có thể ứng với một số duy nhất, gọi là số Gödel. Chẳng hạn số Gödel của mệnh đề 2 + 2 = 4 là *. Thứ hai, mệnh đề siêu toán học, dãy công thức A, là một chứng minh của công thức B, có thể được thể hiện như là một mối quan hệ số học giữa các con số Gödel đối với A và B. Như vậy, siêu toán học có thể được ánh xạ vào số học, mặc dù tôi không rõ làm thế nào mà phiên dịch một mệnh đề siêu toán học kiểu như “toán học rất thú vị”. Thứ ba và cuối cùng, xét mệnh đề tự quy chiếu Gödel, G. Nội dung của mệnh đề này là “mệnh đề G không thể chứng minh được từ các tiên đề của toán học”. Giả sử G có thể chứng minh được. Nếu vậy, các tiên đề phải không nhất quán bởi vì người ta có thể chứng minh được G và điều này mâu thuẫn với chính nội dung của G. Ngược lại, nếu G không thể chứng minh được, suy ra G đúng (có nghĩa là tồn tại mệnh đề toán học không thể chứng minh được). Bằng cách ánh xạ với các con số, G sẽ tương ứng với một mối quan hệ thực sự giữa các con số, nhưng không thể được rút ra từ các tiên đề. Vì vậy, toán học, hoặc là không nhất quán hoặc là không đầy đủ. Người ta có xu hướng đánh cược là nó không đầy đủ (thay vì không nhất quán)[9].
Bức tranh Drawing Hands của Maurits Escher vẽ năm 1948, mô tả bản chất bất toàn của các hệ tự quy chiếu (hệ tự mình nói về mình)
15. Định lý Gödel có quan hệ như thế nào với vấn đề xây dựng lý thuyết về vũ trụ trong phạm vi một số hữu hạn các nguyên lý? Có một liên hệ rất rõ ràng. Theo triết học thực chứng của khoa học, một lý thuyết vật lý là một mô hình toán học. Vì vậy, nếu có những kết quả toán học không thể chứng minh được thì cũng có những bài toán vật lý không thể dự đoán được. Một ví dụ có thể là Giả thuyết Goldbach: một số chẵn có thể là tổng của hai số nguyên tố hay không? Nói một cách hình ảnh, một đống gỗ có số gỗ là số chẵn, liệu có thể luôn luôn chia đống gỗ ấy thành hai đống, sao cho mỗi đống không thể sắp xếp được trong một hình chữ nhật hay không?[10]
16.Mặc dù đây là một loại bài toán thể hiện tính bất toàn, nhưng đó không phải là kiểubất toàn không thể dự đoán mà tôi ngụ ý. Với một đống gỗ có số gỗ cụ thể, thì sau một số hữu hạn các phép thử người ta có thể xác định dứt khoát đống gỗ đó có thể chia thành hai đống có số lượng là số nguyên tố hay không. Nhưng tôi nghĩ rằng khi kết hợp thuyết lượng tử với lực hấp dẫn, sẽ có một yếu tố mới được đưa vào cuộc thảo luận vốn không có mặt trong lý thuyết cổ điển Newton. Trong cách tiếp cận bằng tiêu chuẩn thực chứng đối với triết học khoa học, các lý thuyết vật lý sống tự do thoải mái trong một thiên đường của các mô hình toán học lý tưởng theo chủ nghĩa Platon[11]. Đó là một mô hình có thể được chi tiết hoá tuỳ ý và có thể chứa một số lượng tuỳ ý của thông tin mà không ảnh hưởng đến những vũ trụ mà chúng mô tả. Nhưng chúng ta không phải là thiên thần nhìn vũ trụ từ bên ngoài. Thay vào đó, cả chúng ta lẫn các mô hình của chúng ta đều là một bộ phận của vũ trụ mà chúng ta đang mô tả. Như vậy, một lý thuyết vật lý là một hệ tự quy chiếu, như trong định lý của Gödel. Do đó người ta có thể cho rằng nó hoặc không nhất quán hoặc không đầy đủ. Cho đến nay, các lý thuyết hiện có vừa không nhất quán vừa không đầy đủ.
17.Hấp dẫn lượng tử  thiết yếu đối với lý lẽ luận cứ. Thông tin trong mô hình có thể được trình bầy bởi một trật tự sắp xếp của các hạt. Theo thuyết lượng tử, một hạt trong một vùng có kích thước cho trước có một số lượng năng lượng tối thiểu xác định. Vì vậy, như trước đây tôi đã nói, các mô hình không sống tự do thoải mái. Chúng tiêu tốn năng lượng. Bởi phương trình nổi tiếng của Einstein, E = mc2, năng lượng tương đương với khối lượng. Và khối lượng khiến các hệ thống sụp đổ dưới lực hấp dẫn. Giống như lấy quá nhiều sách trong một thư viện. Sàn nhà sẽ bị sụp xuống và tạo ra một hố đen nuốt chửng các thông tin. Đặc biệt đáng chú ý là Jacob Bekenstein và tôi đã khám phá ra rằng số lượng thông tin trong một hố đen tỷ lệ thuận với diện tích ranh giới của hố đen, chứ không phải thể tích của hố đen, như người ta đã nghĩ. Giới hạn nồng độ thông tin trong hố đen là cơ bản, nhưng nó đã không được kết hợp một cách thích đáng vào bất kỳ một công thức chính xác nào của lý thuyết M mà chúng ta có cho đến nay. Tất cả đều giả định rằng có thể xác định được hàm sóng tại mỗi điểm của không gian. Nhưng đó sẽ là một mật độ vô hạn của thông tin mà không được phép. Mặt khác, nếu người ta không thể xác định hàm sóng tại từng điểm một, người ta không thể dự đoán tương lai với độ chính xác tùy ý, ngay cả trong quyết định luận giảm thiểu của lý thuyết lượng tử. Những gì chúng ta cần là một công thức của lý thuyết M tính đến giới hạn thông tin của hố đen. Nhưng sau đó kinh nghiệm của chúng ta với lý thuyết siêu hấp dẫn và lý thuyết dây, và sự tương tự của định lý của Gödel, gợi ý rằng rằng ngay cả lý thuyết chính xác này[12] cũng sẽ không đầy đủ.
18.Một số người sẽ rất thất vọng nếu không có một lý thuyết cuối cùng có thể đượcphát biểu một cách chính xác bằng một số hữu hạn các nguyên . Tôi từng nằm trong số những người đó, nhưng tôi đã thay đổi tư duy. Hiện nay tôi vui mừng nhận thấy rằng việc tìm kiếm của chúng ta cho sự hiểu biết sẽ không bao giờ kết thúc, và chúng ta sẽ luôn luôn có những thách thức của những khám phá mới. Nếu không có nó, chúng ta sẽ bị mụ mẫm. Định lý Gödel đảm bảo sẽ luôn luôn có công việc cho các nhà toán học. Tôi nghĩ Lý thuyết M cũng sẽ làm điều tương tự cho các nhà vật lý. Tôi tin chắc Dirac sẽ tán thành.
Cảm ơn các bạn đã lắng nghe.

[3] Nguyên Giám đốc nghiên cứu Trung tâm quốc gia về nghiên cứu khoa học của Pháp (CNRS), Giáo sư Đại học Paris VI
[4] Ký hiệu (…) là lược bỏ vài chữ không cần thiết về mặt khoa học (ND).
[5] Trong vật lý, hai hệ được gọi là “coupled’ nếu chúng tương tác với nhau (ND).
[6] Trong vật lý hạt cơ bản, “siêu đối tác” là một hạt cơ bản giả thuyết. Lý thuyết siêu đối xứng là một trong những lý thuyết hiện nay trong vật lý năng lượng cao tiên đoán sự tồn tại của những loại hạt “ẩn khuất” này (ND).
[7] Một “dilaton” là một hạt giả thuyết xuất hiện trong lý thuyết dây (ND).
[8] Lý thuyết M là một ứng cử viên của Lý thuyết Thống nhất vật lý, một dạng mở rộng của Lý thuyết dây trong không gian 11 chiều. Chữ M được hiểu là “membrane” (màng), “matrix” (ma trận), “monster” (quỷ quái), “mystery” (bí hiểm), “magic” (ma thuật), … (ND).
[9] Nói cách khác, người ta sợ toán học bị mâu thuẫn hơn là sợ nó không đầy đủ (ND).
[10] Đoạn này được dịch ý sao cho dễ hiểu. Nếu có thể sắp xếp các “phần tử” (các mẩu gỗ, khúc gỗ) của một đống gỗ theo các hàng và cột để tạo thành một hình chữ nhật thì số “phân tử” sẽ là tích của chiều dài x chiều rộng, tức là không nguyên tố. Nếu số “phần tử” là nguyên tố thì nó không phủ kín một hình chữ nhật (ND).
[11] Trong toán học, chủ nghĩa Platon là tư tưởng hiện thực cho rằng các thực thể toán học có sự tồn tại hiện thực và các chân lý toán học tồn tại độc lập với tư duy của con người (ND).
[12] Tức Lý thuyết M.

Trích nguồn từ website thầy PV Hưng

“Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 trong thế kỷ 20” là một bài giảng của Perry Marshall. Dưới đây là bản lược dịch của thầy Phạm Việt Hưng.


Abstract: Gottfried Leibniz once said: “Without mathematics we cannot penetrate deeply into philosophy. Without philosophy we cannot penetrate deeply into mathematics. Without both we cannot penetrate deeply into anything.”. Quoting Leibniz, Perry Marshall leads us to the world of Maths and Philosophy, where we can see more clearly the truth. That is the aim of his lecture: “Gödel’s Incompleteness Theorem: The #1 Mathematical Discovery of the 20th Century”.

Lời dẫn của người dịch:
Gottfried Leibniz có lần nói: “Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”. Dẫn lời Leibniz, Perry Marshall đưa chúng ta vào thế giới của Toán học và Triết học, ở đó chúng ta có thể thấy rõ hơn chân lý, biết đâu là sự thật. Đó là mục đích bài giảng của ông: “Định lý Bất toàn của Gödel: Khám phá Toán học số 1 của thế kỷ 20”….
ĐỊNH LÝ BẤT TOÀN CỦA GÖDEL: KHÁM PHÁ TOÁN HỌC SỐ I CỦA THẾ KỶ XX

Bài giảng của Perry Marshall
Gottfried Leibniz:
“Không có toán học chúng ta không thể đi sâu vào triết học. Không có triết học chúng ta không thể đi sâu vào toán học. Không có cả hai chúng ta không thể đi sâu vào bất cứ thứ gì”.
Galileo Galilei:
“Toán học là ngôn ngữ Chúa viết trong vũ trụ”
Năm 1931, Kurt Gödel giáng cho các nhà toán học trong thời của ông một đòn nặng nề
Năm 1931, nhà toán học trẻ Kurt Gödel có một khám phá mang tính bước ngoặt, gây ra những chấn động lớn như những gì Albert Einstein đã làm.
Khám phá của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà thực ra áp dụng cho tất cả các ngành của khoa học, logic và hiểu biết của con người nói chung. Nó thực sự làm rung chuyển trái đất.
Nhưng trớ trêu thay, không mấy ai biết về nó.
Vậy hãy cho phép tôi nói với các bạn câu chuyện về định lý này.
Các nhà toán học vốn thích chứng minh mọi thứ. Vì thế họ nóng lòng và băn khoăn trong suốt nhiều thế kỷ vì có một số định đề toán học họ nghĩ là đúng nhưng không thể CHỨNG MINH.
Chẳng hạn nếu bạn đã từng học Hình học ở trường trung học, hẳn là bạn đã làm những bài tập chứng minh các tính chất của tam giác dựa trên một số định lý cơ bản.
Môn hình học đó được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid. Mọi người đều thấy những tiên đề đó là đúng, nhưng sau 2500 năm vẫn không có ai tìm ra cách chứng minh chúng.
Vâng, dường như hoàn toàn hợp lý khi cho rằng một đường thẳng có thể kéo dài vô tận về hai phía, nhưng không ai có thể CHỨNG TỎ điều đó. Chúng ta chỉ có thể bầy tỏ rằng đó là một tập hợp 5 tiên đề hợp lý, và thực tế là cần thiết.
Những thiên tài toán học cao chót vót đã thất vọng trong hơn 2000 năm bởi vì họ không thể chứng minh tất cả các định lý của họ. Có rất nhiều điều “rõ ràng” là đúng nhưng không ai có thể tìm ra cách chứng minh.
Tuy nhiên, vào những năm đầu của thập niên 1900, một niềm lạc quan to lớn bắt đầu phát triển trong giới toán học. Các nhà toán học xuất sắc nhất thế giới lúc đó (như Bertrand Russell, David Hilbert và Ludwig Wittgenstein) tin rằng họ đang nhanh chóng tiến gần tới một phương pháp tổng hợp cuối cùng.
(Họ tin rằng) một sự thống nhất “Lý thuyết về mọi thứ” rốt cuộc sẽ thít chặt các đầu mối lỏng lẻo. Toán học sẽ kiện toàn, đạn bắn không thủng, không có kẽ hở cho không khí lọt vào, và toán học sẽ đắc thắng.
(Nhưng) năm 1931, nhà toán học trẻ người Áo, Kurt Gödel, đã công bố một công trình CHỨNG MINH một lần và mãi mãi rằng một Lý thuyết Duy nhất về Mọi thứ thực ra là không thể có (impossible, bất khả).
Khám phá của Gödel được gọi là “Định lý Bất toàn”.
Nếu bạn dành cho tôi vài phút, thì tôi sẽ giải thích với bạn định lý đó nói gì, Gödel đã khám phá ra định lý đó như thế nào, và định lý đó có ý nghĩa gì – tôi nói bằng một ngôn ngữ mộc mạc, đơn giản đến nỗi ai cũng hiểu.

Định lý Bất toàn của Gödel nói rằng:
“Bất cứ điều gì mà bạn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó sẽ không thể tự giải thích về bản thân nó mà không tham chiếu đến một cái gì đó ở bên ngoài vòng tròn – một cái gì đó mà bạn phải thừa nhận là đúng nhưng không thể chứng minh.”
GODE1M 
Xin nhắc lại điều nói trên bằng ngôn ngữ chính thức của khoa học:
Định lý Gödel nói rằng: “Bất kỳ lý thuyết nào được tạo ra một cách hiệu quả đủ khả năng biểu diễn số học sơ cấp đều không thể vừa nhất quán vừa đầy đủ. Đặc biệt, đối với bất kỳ lý thuyết hình thức nào nhất quán, được tạo ra một cách hiệu quả cho phép chứng minh một số chân lý số học căn bản, sẽ có một mệnh đề số học đúng nhưng không thể chứng minh trong lý thuyết ấy.”
Luận đề Church-Turing nói rằng một hệ vật lý có thể biểu diễn số học sơ cấp y như con người, và rằng số học của Máy Turing (computer) không thể chứng minh được bên trong hệ thống đó và do đó computer cũng bất toàn.
Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo lường đều có khả năng biểu diễn số học sơ cấp (Nói cách khác, trẻ em có thể làm toán bằng cách đếm ngón tay, nước chảy vào thùng sẽ tạo nên một lượng nước đếm được, và các hệ vật lý luôn luôn đua ra câu trả lời rõ ràng).
Do đó vũ trụ (thế giới vật lý) có khả năng biểu diễn được bằng số học sơ cấp và giống như bản thân toán học và computer, vũ trụ ấy là bất toàn.
Lý luận trên có thể tóm tắt bằng tam đoạn luận sau đây:
1. Mọi hệ thống đủ phức tạp có thể tính toán được đều bất toàn.
2. Vũ trụ là một hệ đủ phức tạp có thể tính toán được.
3. Do đó vũ trụ là bất toàn.
Bạn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh tất cả các khái niệm trong cuốn sách hình học trung học của bạn. Nhưng tất cả chúng được xây dựng trên 5 tiên đề của Euclid, những tiên đề này rõ ràng là đúng nhưng không thể chứng minh. 5 tiên đề đó nằm ngoài cuốn sách, tức là bên ngoài vòng tròn bạn vừa vẽ.
Bạn cũng có thể vẽ một vòng tròn xung quanh một chiếc xe đạp nhưng sự tồn tại của chiếc xe đạp đó dựa vào một nhà máy ở bên ngoài vòng tròn đó. Chiếc xe đạp không thể tự giải thích sự tồn tại của bản thân nó.
Gödel chứng minh rằng LUÔN LUÔN có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh. Trong bất kỳ hệ thống logic hay hệ thống số nào mà các nhà toán học đã từng xây dựng được đều luôn luôn tồn tại ít nhất một vài giả định không thể chứng minh.
Định lý bất toàn của Gödel không chỉ áp dụng cho toán học, mà cho mọi đối tượng tuân thủ các định luật của logic. Bất toàn đúng trong toán học; nó cũng đúng trong khoa học hay ngôn ngữ hoặc triết học.
Và: Nếu vũ trụ mang tính chất toán học và logic thì tính bất toàn cũng áp dụng cho vũ trụ.
Gödel sáng tạo ra chứng minh của mình bằng cách khởi đầu với “Nghịch lý Kẻ nói dối” (The Liar’s Paradox) – đó là mệnh đề:
“Tôi đang nói dối.” (I am lying)
Mệnh đề “Tôi đang nói dối” là một mệnh đề tự mâu thuẫn, bởi nếu mệnh đề ấy phản ánh đúng sự thật, rằng tôi là một kẻ nói dối, thì suy ra mệnh đề vừa nói không đáng tin cậy, tức là mệnh đề ấy mâu thuẫn với chính nó; nếu mệnh đề ấy sai, lập luận tương tự cũng đi đến mâu thuẫn .
Tương tự như vậy, bằng một trong những biến đổi khéo léo nhất trong lịch sử toán học, Gödel đã chuyển Nghịch lý Kẻ Nói Dối thành một công thức toán học. Ông đã chứng minh rằng bất kỳ một mệnh đề nào cũng đòi hỏi một quan sát viên bên ngoài.
Không có mệnh đề nào (một sự trình bày nào) có thể một mình nó tự chứng minh nó đúng.
Định lý bất toàn của Gödel là một đòn nặng nề giáng vào “chủ nghĩa thực chứng” trong thời đại đó. Gödel chứng minh định lý của ông một cách rõ ràng trắng đen đến nỗi không ai có thể tranh cãi với logic của ông.
Tuy nhiên một số đồng nghiệp toán học của ông đến lúc ra đi về bên kia thế giới vẫn phủ nhận ông, tin rằng bằng cách này hay cách khác, trước sau Gödel chắc chắn phải sai.
Nhưng ông không sai. Định lý của ông thực sự đúng. Có nhiều cái đúng hơn là cái bạn có thể chứng minh.
Một “lý thuyết về mọi thứ” – dù trong toán học hay vật lý, triết học – sẽ không bao giờ tìm thấy. Đơn giản vì nó không thể tồn tại (impossible, bất khả).
OK, vậy điều này thực ra có ý nghĩa gì? Tại sao vấn đề này lại là vô cùng quan trọng, thay vì chỉ là một chuyện phiếm để mua vui?
Đây là ý nghĩa của định lý:
Đức tin và Lý lẽ không phải là kẻ thù của nhau. Thực ra điều ngược lại mới đúng! Cái này nhất thiết cần cái kia để tồn tại. Mọi lý lẽ rốt cuộc đều quay trở lại niềm tin vào một cái gì đó mà bạn không thể chứng minh.
Mọi hệ thống đóng kín đều phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống.
Bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn lớn hơn nhưng sẽ luôn luôn tồn tại một cái gì đó bên ngoài vòng tròn.
Lý lẽ hướng từ một vòng tròn lớn hơn vào một vòng tròn nhỏ hơn là “lý lẽ suy diễn” (deductive reasoning). Thí dụ:
1. Mọi người đều sẽ chết.
2. Socrates là một con người.
3. Vậy Socrates sẽ chết.
Lý lẽ hướng từ một vòng tròn nhỏ hơn ra một vòng tròn lớn hơn là “lý lẽ quy nạp”. Thí dụ:
1. Khi tôi thả đồ vật ra, chúng sẽ rơi.
2. Do đó tồn tại một định luật về hấp dẫn chi phối mọi vật thể rơi.
Chú ý rằng khi bạn chuyển từ vòng tròn nhỏ hơn ra vòng tròn lớn hơn, bạn phải thừa nhận rằng bạn không thể chứng minh 100%.
Chẳng hạn bạn không thể CHỨNG MINH lực hấp dẫn luôn luôn tồn tại vào mọi lúc. Bạn chỉ có thể nhận thấy lực hấp dẫn tồn tại vào mỗi lúcc bạn quan sát. Bạn không thể CHỨNG MINH vũ trụ là hợp lý (rational, tuân thủ những quy luật nhất định). Bạn chỉ có thể nhận thấy các công thức toán học, như E = mc2 chẳng hạn, dường như mô tả một cách hoàn hảo cái mà vũ trụ tiến hành.
Gần như mọi định luật khoa học đều dựa trên lý lẽ quy nạp. Những định luật này đều dựa trên một giả định cho rằng vũ trụ là logic và dựa trên những định luật cố định có thể khám phá ra.
Bạn không thể CHỨNG MINH giả định đó ( Bạn không thể chứng minh mặt trời sẽ mọc vào buổi sớm mai). Thực ra bạn phải chấp nhận điều đó bằng niềm tin. Khoa học được xây dựng trên những giả định triết học mà bạn không thể chứng minh bằng khoa học. Thật vậy, phương pháp khoa học không thể chứng minh, nó chỉ có thể gợi ý, phỏng đoán (Khoa học xuất phát từ tư tưởng nguyên thủy rằng Chúa tạo ra một vũ trụ có trật tự tuân thủ các định luật cố định có thể khám phá được).
Bây giờ hãy xem xét điều gì sẽ xẩy ra khi chúng ta vẽ vòng tròn lớn nhất có thể có – vòng tròn bao quanh toàn thể vũ trụ (nếu có đa vũ trụ thì vẽ môt vòng tròn chứa tất cả những vũ trụ đó):
Phải có một cái gì đó bên ngoài vòng tròn đó. Một cái gì đó mà chúng ta phải thừa nhận là không thể chứng minh được.
Vũ trụ mà chúng ta biết là hữu hạn – hữu hạn vật chất, hữu hạn năng lượng, không gian hữu hạn và thời gian là 13.7 tỷ năm tuổi.
Vũ trụ ấy mang tính chất toán học. Bất kỳ hệ vật lý nào có thể đo đạc đều có thể biểu diễn bởi số học (Bạn không cần biết toán học để làm phép cộng – bạn có thể sử dụng bàn tính gẩy tay để tìm câu trả lời vào mọi lúc).
Vũ trụ (tất cả mọi vật chất, năng lượng, không gian, thời gian) không thể tự giải thích cho nó.
Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là vô hạn. Theo định nghĩa, không thể vẽ một vòng tròn bao quanh nó .
● Nếu chúng ta vẽ một vòng tròn bao quanh mọi vật chất, năng lượng, không gian và thời gian và áp dụng định lý Gödel, chúng ta sẽ thấy cái gì ở ngoài vòng tròn đó sẽ không phải là vật chất, không phải năng lượng, không phải không gian và cũng không phải thời gian. Đó là thế giới phi vật chất.
Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều không phải là một hệ thống – nghĩa là không phải một tập hợp bao gồm các thành phần. Nói cách khác, nếu chúng ta có thể vẽ một vòng tròn bao quanh vật chất, năng lượng, không-thời-gian thì cái nằm ngoài vòng tròn ấy là không thể phân chia được.
Bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất đều là nguyên nhân không có nguyên nhân, bởi vì bạn luôn luôn có thể vẽ một vòng tròn bao quanh một kết quả.
Chúng ta có thể áp dụng lý lẽ quy nạp tương tự cho nguồn gốc của thông tin:
Trong lịch sử vũ trụ, chúng ta cũng đã biết sự xuất hiện của thông tin, vào khoảng 3.5 tỷ năm trước. Nó xuất phát từ mã của Hệ Di truyền (Genetic code), một thứ phi vật chất mang tính biểu tượng .
Thông tin phải xuất phát từ bên ngoài, bởi vì thông tin được biết không phải là một đặc trưng vốn thuộc về vật chất, năng lượng và không gian hoặc thời gian.
Mọi mã mà chúng ta biết nguồn gốc đều được thiết kế bởi những thực thể có ý thức.
Do đó bất kể cái gì ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất cũng phải là một thực thể có ý thức.
Nói cách khác, khi chúng ta bổ sung thông tin vào trong phương trình, chúng ta có thể kết luận rằng cái ở bên ngoài vòng tròn lớn nhất không chỉ vô hạn và phi vật chất, mà còn có ý thức.
Chẳng phải thú vị hay sao khi những vấn đề này nghe có vẻ đáng ngờ vực như những gì mà các nhà thần học đã mô tả Chúa trong hàng ngàn năm nay?
Vì thế sẽ chẳng có gì đáng ngạc nhiên khi thấy 80-90% dân chúng trên thế giới tin vào Thượng đế theo một cách nào đó. Thật vậy, đó là trực giác đối với phần lớn các dân tộc. Nhưng định lý Gödel chỉ ra rằng đó cũng là logic tối cao. Thực ra đó là lập trường duy nhất mà người ta có thể nắm lấy và đứng trên đó trong vương quốc của lý lẽ và logic.
Người nào tự phụ tuyên bố “Bạn là người của đức tin, còn tôi là người của khoa học” thì người ấy không hiểu gốc rễ của khoa học hoặc bản chất của tri thức!
Một khía cạnh thú vị khác…
Nếu bạn có dịp thăm một trang mạng vô thần lớn nhất thế giới có tên là Infidels, bạn sẽ thấy trên trang chủ lời tuyên bố sau đây:
Chủ nghĩa duy tự nhiên (naturalism) là giả thuyết cho rằng thế giới tự nhiên là một hệ đóng, ngụ ý rằng không có cái gì không phải là thành phần của thế giới tự nhiên mà lại ảnh hưởng lên nó
kurt godel 
 Nếu bạn biết định lý Gödel, bạn sẽ thấy rằng mọi hệ logic phải phụ thuộc vào một cái gì đó ở bên ngoài hệ thống. Vậy theo định lý bất toàn của Gödel, tuyên bố của trang mạng Infidels không thể chính xác. Nếu vũ trụ là logic, nó phải có một nguyên nhân bên ngoài.
Do đó chủ nghĩa vô thần vi phạm các định luật của lý lẽ và logic.
Định lý Bất toàn của Gödel chứng minh một cách dứt khoát rằng khoa học không bao giờ có thể lấp kín những lỗ hổng của chính nó. Chúng ta không có lựa chọn nào khác là nhìn ra bên ngoài khoa học để tìm câu trả lời.
Tính Bất toàn của vũ trụ không phải là chứng minh cho việc Chúa tồn tại. Nhưng… đó LÀ chứng minh cho nhận định rằng để kiến tạo nên một mô hình vũ trụ hợp lý thì niềm tin vào Chúa không chỉ logic 100%… mà đó là điều cần thiết.
5 tiên đề của Euclid không thể chứng minh một cách hình thức và Chúa cũng không thể chứng minh một cách hình thức . Nhưng… giống như bạn không thể xây dựng một hệ thống hình học chặt chẽ mà không có 5 tiên đề của Euclid, bạn cũng không thể xây dựng một lý thuyết mô tả vũ trụ chặt chẽ mà không có Nguyên nhân Ban đầu và một Cội Nguồn của trật tự.
Do đó đức tin và khoa học không phải là kẻ thù của nhau, mà liên minh với nhau. Điều đó đã đúng trong hàng trăm năm, nhưng đến năm 1931 thì nhà toán học trẻ gầy ốm Kurt Gödel đã chứng minh điều đó.
Không có thời kỳ nào trong lịch sử nhân loại đức tin vào Chúa lại trở nên có lý hơn, logic hơn, hoặc hoàn hảo hơn bằng khi nó được hỗ trợ bởi khoa học và toán học.

Perry Marshall

(Bài viết trích từ nguồn viethungpham.com  của thầy Phạm Việt Hưng)

Author Name

Biểu mẫu liên hệ

Tên

Email *

Thông báo *

Được tạo bởi Blogger.