tháng tư 2015

1. Định lý về Đường thẳng Simson 
 
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gỉa sử S là một điểm nằm trên (O) sao cho S không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc A_0,B_0,C_0 của S lần lượt trên BC,CA,AB cùng nằm trên một đường thẳng. (Đường thẳng này gọi là đường thẳng Simson của điểm S đối với tam giác ABC)

Chứng minh :

Ta có \widehat{CB_0S}=\widehat{CA_0S}=90^{0}, suy ra tứ giác A_0B_0CS nội tiếp, suy ra \widehat{B_0A_0C}=\widehat{B_0SC}. Mặt khác vì ABSC nội tiếp nên \widehat{C_0BS}=\widehat{ACS}=\widehat{B_0CS}\Rightarrow \Delta SC_0B\sim \Delta SB_0S\;(g.g)\Rightarrow \widehat{BSC_0}=\widehat{CSB_0}\Rightarrow \widehat{BSC_0}=\widehat{B_0A_0C}.
Nhưng vì A_0BC_0S là tứ giác nội tiếp (\widehat{BA_0S}=\widehat{BC_0S}=90^{0}) nên \widehat{BSC_0}=\widehat{BA_0C_0}\Rightarrow \widehat{B_0A_0C}=\widehat{BA_0C_0}.
Vậy A_0,B_0,C_0 cùng thuộc một đường thẳng.


2. Định lí về đường thẳng Steiner :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm S bất kì thuộc đường tròn sao cho S không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi A_1,B_1,C_1 lần lượt là điểm đối xứng với S qua các đường thẳng BC,CA,AB. Khi đó ba điểm A_1,B_1,C_1 và trực tâm H của tam giác ABC cùng nằm trên một đường thẳng (Đường thẳng này là đường thẳng Steiner của điểm S đối với tam giác ABC.

Chứng minh:
Dễ dàng thấy A_1,B_1,C_1 cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng Simson của điểm S đối với tam giác ABC.
Ta có \widehat{AC_1B}+\widehat{AHB}=\widehat{ASB}+(180^{0}-\widehat{ACB}) mà \widehat{ASB}=\widehat{ACB} nên \widehat{AC_1B}+\widehat{AHB}=180^{0}, suy ra AHBC_1 là tứ giác nội tiếp.
Từ đó \widehat{AHC_1}=\widehat{ABC_1}=\widehat{ABS}
Hoàn toàn tương tự, tứ giác AHCB_1 nội tiếp nên \widehat{AHB_1}=\widehat{ACB_1}=\widehat{ACS}
Lại có \widehat{ACS}+\widehat{ABS}=180^{0} (tứ giác ABSC nội tiếp)
Do đó \widehat{AHB_1}+\widehat{AHC_1}=180^{0}, suy ra H,B_1,C_1 thẳng hàng.
Vậy : A_1,B_1,C_1,H cùng thuộc một đường thẳng.
 

Author Name

Biểu mẫu liên hệ

Tên

Email *

Thông báo *

Được tạo bởi Blogger.