Hiển thị các bài đăng có nhãn Hình Học. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn Hình Học. Hiển thị tất cả bài đăng

Thứ Năm, 2 tháng 4, 2015

Đường thẳng Simson, Đường thẳng Steiner

1. Định lý về Đường thẳng Simson 
 
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gỉa sử S là một điểm nằm trên (O) sao cho S không trùng với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc A_0,B_0,C_0 của S lần lượt trên BC,CA,AB cùng nằm trên một đường thẳng. (Đường thẳng này gọi là đường thẳng Simson của điểm S đối với tam giác ABC)

Chứng minh :

Ta có \widehat{CB_0S}=\widehat{CA_0S}=90^{0}, suy ra tứ giác A_0B_0CS nội tiếp, suy ra \widehat{B_0A_0C}=\widehat{B_0SC}. Mặt khác vì ABSC nội tiếp nên \widehat{C_0BS}=\widehat{ACS}=\widehat{B_0CS}\Rightarrow \Delta SC_0B\sim \Delta SB_0S\;(g.g)\Rightarrow \widehat{BSC_0}=\widehat{CSB_0}\Rightarrow \widehat{BSC_0}=\widehat{B_0A_0C}.
Nhưng vì A_0BC_0S là tứ giác nội tiếp (\widehat{BA_0S}=\widehat{BC_0S}=90^{0}) nên \widehat{BSC_0}=\widehat{BA_0C_0}\Rightarrow \widehat{B_0A_0C}=\widehat{BA_0C_0}.
Vậy A_0,B_0,C_0 cùng thuộc một đường thẳng.


2. Định lí về đường thẳng Steiner :
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm S bất kì thuộc đường tròn sao cho S không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi A_1,B_1,C_1 lần lượt là điểm đối xứng với S qua các đường thẳng BC,CA,AB. Khi đó ba điểm A_1,B_1,C_1 và trực tâm H của tam giác ABC cùng nằm trên một đường thẳng (Đường thẳng này là đường thẳng Steiner của điểm S đối với tam giác ABC.

Chứng minh:
Dễ dàng thấy A_1,B_1,C_1 cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng Simson của điểm S đối với tam giác ABC.
Ta có \widehat{AC_1B}+\widehat{AHB}=\widehat{ASB}+(180^{0}-\widehat{ACB}) mà \widehat{ASB}=\widehat{ACB} nên \widehat{AC_1B}+\widehat{AHB}=180^{0}, suy ra AHBC_1 là tứ giác nội tiếp.
Từ đó \widehat{AHC_1}=\widehat{ABC_1}=\widehat{ABS}
Hoàn toàn tương tự, tứ giác AHCB_1 nội tiếp nên \widehat{AHB_1}=\widehat{ACB_1}=\widehat{ACS}
Lại có \widehat{ACS}+\widehat{ABS}=180^{0} (tứ giác ABSC nội tiếp)
Do đó \widehat{AHB_1}+\widehat{AHC_1}=180^{0}, suy ra H,B_1,C_1 thẳng hàng.
Vậy : A_1,B_1,C_1,H cùng thuộc một đường thẳng.